Jeu de SET & Maths de l'infini
Inventé par la généticienne Marsha Falco au début des années 1980, le jeu de SET repose sur un jeu de quatre-vingt-une cartes aux combinaisons rigoureuses. Chaque carte se définit par quatre caractéristiques indépendantes possédant chacune trois variations possibles : la couleur (rouge, vert ou violet), la quantité de motifs (un, deux ou trois), la forme (losange, ovale ou vague) et la texture (plein, vide ou hachuré).
Le principe fondamental consiste à identifier rapidement un « SET » parmi les cartes posées sur la table. Un SET valide se compose de trois cartes pour lesquelles chaque caractéristique prise individuellement est soit strictement identique sur les trois cartes, soit totalement différente sur chacune d'elles. Douze cartes sont initialement disposées face visible ; le premier joueur qui repère un SET valide remporte les cartes correspondantes. Si aucun joueur ne parvient à en identifier un, trois cartes supplémentaires sont ajoutées sur la table pour débloquer la situation.
Le jeu de SET et les mathématiques de l'infini : quand la géométrie rencontre le hasard
La géométrie cachée d’un espace à quatre dimensions
Sous des airs de simple passe-temps familial, ce jeu de cartes modélise en réalité un espace mathématique abstrait. Les quatre-vingt-une cartes correspondent exactement aux points d’un espace affine de dimension quatre sur un corps fini à trois éléments, noté F34 . Chaque carte représente un vecteur, et trouver un SET revient géométriquement à aligner trois points sur une même droite.
Dans cette structure, deux cartes fixent une direction unique, et la troisième carte du SET est mathématiquement imposée pour compléter l’alignement. Cette correspondance structurelle transforme un problème récréatif en un objet d’étude pertinent pour la combinatoire et la géométrie discrète.
Le défi des ensembles sans alignement
La question mathématique centrale consiste à déterminer le nombre maximal de cartes que l’on peut poser sur la table sans qu’aucun SET ne soit formé. En théorie des ensembles, ce problème équivaut à rechercher la plus grande sous-partie d’un espace vectoriel qui ne contient aucune progression arithmétique de longueur trois.
En mathématiques, ce problème précis a trouvé une première résolution majeure grâce aux travaux fondateurs menés dès 1971 par les mathématiciens Lorenzo Pelleser et Robert Rankin, repris et généralisés par la suite. Les calculs démontrent que dans un espace de dimension quatre, la taille maximale d’un lot sans SET est exactement de vingt cartes. Dès qu’une vingt et unième carte est ajoutée, l’apparition d’au moins un SET devient mathématiquement inévitable.
Si l’on généralise le modèle à des espaces de dimensions supérieures, les limites maximales de cartes sans alignement augmentent de manière significative. Le seuil s’établit à quarante-cinq cartes pour un espace de dimension cinq, et atteint cent douze cartes pour un espace de dimension six.
Vers l’infini et la percée récente d’Ellenberg et Gijswijt
La complexité s’accroît radicalement lorsque le nombre de dimensions et de cartes tend vers l’infini, transformant une énigme combinatoire en un problème ouvert de premier plan. Pendant des décennies, la majoration de la taille de ces ensembles a résisté aux efforts des plus grands spécialistes de la théorie des nombres.
La véritable révolution mathématique est survenue en 2016. Les mathématiciens Jordan S. Ellenberg, de l’Université du Wisconsin à Madison, et Dion Gijswijt, de l’Université de Delft, ont publié une démonstration historique. En appliquant une méthode novatrice dite de la « polynômialité bornée », ils ont prouvé que la taille maximale d’un sous-ensemble sans progression arithmétique croît exponentiellement moins vite que le nombre total de cartes disponibles.
Leur article a montré que la borne supérieure, qui stagnait depuis des années, démontrant que la probabilité d’éviter un SET, s’effondre à mesure que l’espace s’agrandit. Ce résultat dépasse largement le cadre ludique du jeu de cartes pour alimenter la recherche de pointe sur les structures des groupes abéliens et la théorie additive des nombres, prouvant que la rigueur mathématique se cache parfois là où on l’attend le moins.
Glossaire des termes mathématiques
Combinatoire : Branche des mathématiques qui étudie le dénombrement, l’agencement et la sélection d’objets selon diverses contraintes.
Espace affine : Ensemble de points muni d’une structure permettant de définir des vecteurs et des translations, mais sans origine privilégiée.
Géométrie discrète : Domaine de la géométrie consacré à l’étude des configurations finies ou dénombrables de points, segments, polygones et autres objets géométriques.
Groupe abélien : Groupe dont l’opération interne est commutative, c’est-à-dire vérifiant pour tous les éléments.
Problème ouvert : Question mathématique dont aucune démonstration ni contre-exemple n’est actuellement connu.
Progression arithmétique : Suite de nombres dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est constante.
Théorie additive des nombres : Branche de la théorie des nombres qui étudie les propriétés des entiers liées à leur écriture comme sommes d’autres entiers.
Théorie des ensembles : Théorie mathématique fondée sur la notion d’ensemble, servant de cadre à la plupart des constructions mathématiques modernes.
Théorie des nombres : Branche des mathématiques consacrée à l’étude des propriétés des nombres entiers et des structures qui leur sont associées.
Vecteur : Objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et éventuellement une norme, représentant une translation ou une grandeur orientée.
Espace vectoriel : Ensemble de vecteurs stable par addition et multiplication par un scalaire, satisfaisant certains axiomes algébriques.
Pour en savoir plus: